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Domaine d'expertise - Mathématiques, physique quantique
L'opérateur de Laplace Δ (d'après Pierre-Simone Laplace), également appelé opérateur delta, est un opérateur différentiel du second ordre et est appelé le carré de l'opérateur de Nabla Sont définis
Il forme la somme des dérivées partielles secondes pures selon les coordonnées cartésiennes
et est donc la trace de la matrice hessienne.
En chimie, par exemple, l'opérateur de Laplace est une composante de l'opérateur de Hamilton, ou dans les équations de la cinétique, pour décrire les processus de diffusion.
Voir aussi : équation de Schrödinger
L'équation du nom du mathématicien Pierre-Simon Laplace, né en 1749, est une équation différentielle partielle elliptique du second ordre. L'équation de Laplace est également utilisée en physique. Elle peut être dérivée, par exemple, de l'équation de conduction thermique. Ici, nous résolvons l'équation de Laplace sur le carré unité. Pour cela, nous utilisons l'approche de séparation.
Exemple d'équation de Laplace
est l'équation de Poisson homogène :
Les deux sont des équations différentielles elliptiques. Nous voulons regarder l'équation de Laplace à deux dimensions
vue sur la place de l'unité.
Le grand décrit le domaine dans lequel nous considérons l'équation différentielle. Dans ce cas le carré unitaire.
Les conditions aux limites sont les suivantes :
Résoudre l'équation de Laplace
Comme d'habitude, vous choisissez une approche produit
Et vous en obtenez après l'insertion,
Trier et assimiler avec la constante
deux équations différentielles ordinaires.
Résoudre DGL ordinaire
Maintenant, vous devez résoudre les équations différentielles ordinaires. Mais par lequel commencer ? Vous pouvez gagner du temps en regardant les conditions aux limites.
se démarque. Elle n'est pas nulle comme les autres conditions aux limites, mais la même . Donc la partie qui dépend de y doit être une fonction trigonométrique. C'est pourtant le cas
est inférieur à zéro.
Pour cela, nous définissons un ,
le mettre dans le y-DGL
Cela donne les valeurs propres
pour que les solutions ressemblent à ceci.
Utiliser des conditions aux limites
Comme prévu, c'est une fonction trigonométrique. Vérifions maintenant les conditions aux limites. Nous l'écrivons d'abord pour un Y majuscule.
Les premières listes de contraintes
Les deuxièmes listes de contraintes
Soit est égal à zéro, ce qui serait la solution triviale, ou sur
est zéro. C'est pourtant le cas
un multiple de
est.
Il conduit aux solutions
Considérons maintenant l'équation différentielle pour x.
Ici, nous pouvons pour
insérer,
et mettre en place le polynôme caractéristique.
Les vraies valeurs propres en résultent
La solution est donc constituée de deux fonctions exponentielles.
A partir de la première condition aux limites
est donc nous avons la solution dans le sinus hyperbolique
peut réécrire. Pour rappel, le sinus hyperbolique est .
Alors on parie pour moins
un et parenthèses deux
la fin. Ce qui reste est exactement le sinus hyperbolique. C'est donc la solution générale
la somme sur n du produit de la fonction sinus hyperbolique et de la fonction sinus. Avec la dernière contrainte
1: 
2: 
tout d'abord que tous les coefficients sauf
est égal à zéro
sont (2). Résoudre le reste de l'équation résultats
Vous pouvez maintenant brancher la constante et la solution finale ressemble à ceci.
Vous avez maintenant résolu l'équation de Laplace sur le carré unité. Dans le prochain article, nous allons résoudre l'équation de Poisson.
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