Chimie

Opérateur de Laplace

Opérateur de Laplace


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Domaine d'expertise - Mathématiques, physique quantique

L'opérateur de Laplace Δ (d'après Pierre-Simone Laplace), également appelé opérateur delta, est un opérateur différentiel du second ordre et est appelé le carré de l'opérateur de Nabla Sont définis

??=2

Il forme la somme des dérivées partielles secondes pures selon les coordonnées cartésiennes

??=2=je=1m2Xje2

et est donc la trace de la matrice hessienne.

En chimie, par exemple, l'opérateur de Laplace est une composante de l'opérateur de Hamilton, ou dans les équations de la cinétique, pour décrire les processus de diffusion.

Voir aussi : équation de Schrödinger


L'équation du nom du mathématicien Pierre-Simon Laplace, né en 1749, est une équation différentielle partielle elliptique du second ordre. L'équation de Laplace est également utilisée en physique. Elle peut être dérivée, par exemple, de l'équation de conduction thermique. Ici, nous résolvons l'équation de Laplace sur le carré unité. Pour cela, nous utilisons l'approche de séparation.

Exemple d'équation de Laplace

est l'équation de Poisson homogène :

Les deux sont des équations différentielles elliptiques. Nous voulons regarder l'équation de Laplace à deux dimensions

vue sur la place de l'unité.

Le grand décrit le domaine dans lequel nous considérons l'équation différentielle. Dans ce cas le carré unitaire.

Les conditions aux limites sont les suivantes :




Résoudre l'équation de Laplace

Comme d'habitude, vous choisissez une approche produit

Et vous en obtenez après l'insertion,

Trier et assimiler avec la constante

deux équations différentielles ordinaires.

Résoudre DGL ordinaire

Maintenant, vous devez résoudre les équations différentielles ordinaires. Mais par lequel commencer ? Vous pouvez gagner du temps en regardant les conditions aux limites.

se démarque. Elle n'est pas nulle comme les autres conditions aux limites, mais la même . Donc la partie qui dépend de y doit être une fonction trigonométrique. C'est pourtant le cas est inférieur à zéro.
Pour cela, nous définissons un ,

le mettre dans le y-DGL


Cela donne les valeurs propres

pour que les solutions ressemblent à ceci.

Utiliser des conditions aux limites

Comme prévu, c'est une fonction trigonométrique. Vérifions maintenant les conditions aux limites. Nous l'écrivons d'abord pour un Y majuscule.


Les premières listes de contraintes

Les deuxièmes listes de contraintes

Soit est égal à zéro, ce qui serait la solution triviale, ou sur est zéro. C'est pourtant le cas un multiple de est.

Il conduit aux solutions

Considérons maintenant l'équation différentielle pour x.

Ici, nous pouvons pour insérer,

et mettre en place le polynôme caractéristique.

Les vraies valeurs propres en résultent

La solution est donc constituée de deux fonctions exponentielles.

A partir de la première condition aux limites

est donc nous avons la solution dans le sinus hyperbolique

peut réécrire. Pour rappel, le sinus hyperbolique est .

Alors on parie pour moins un et parenthèses deux la fin. Ce qui reste est exactement le sinus hyperbolique. C'est donc la solution générale

la somme sur n du produit de la fonction sinus hyperbolique et de la fonction sinus. Avec la dernière contrainte

1:

2:

tout d'abord que tous les coefficients sauf est égal à zéro

sont (2). Résoudre le reste de l'équation résultats

Vous pouvez maintenant brancher la constante et la solution finale ressemble à ceci.

Vous avez maintenant résolu l'équation de Laplace sur le carré unité. Dans le prochain article, nous allons résoudre l'équation de Poisson.


Vidéo: Jean-Michel, Opérateur de production (Juillet 2022).


Commentaires:

  1. Beniamino

    Vous avez tort. Je suis sûr. Essayons de discuter de cela. Écrivez-moi dans PM, cela vous parle.

  2. Katlyne

    est-il un analogue similaire?

  3. Aylmer

    Je peux te demander?

  4. Meztizuru

    Vous avez certainement droit

  5. Viktilar

    A mon avis, il a tort. Je suis sûr. Je propose d'en discuter. Écrivez-moi en MP.

  6. Payden

    Désolé, je voudrais moi aussi exprimer mon opinion.

  7. Zulkizahn

    Parfois, des choses pires se produisent



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